domingo, 30 de enero de 2011

¿Quo Vadis? III

Bién, ya vimos que los vectores pueden ser usados para describir la posición de un objeto en el espacio y que tanto los vectores como el espacio mismo tienes una serie de propiedades, en particular el hecho de poder ser de varias dimensiones.

Pero para continuar con la utilidad de los vectores. Como se vio, la dirección y sentido indican el rumbo a seguir, mientras que el tamaño del vector indica la distancia a recorrer. Pero podríamos cambiar esto y en lugar de indicar la posición de un objeto podríamos hablar acerca de su movimiento. Digamos, por ejemplo, que tenemos un cuerpo moviéndose en el espacio. La dirección a donde apunte el vector podría ser la dirección del movimiento, mientras que el tamaño de vector, en lugar de ser la distancia a un origen, puede simbolizar la velocidad a la que se esta moviendo. En este caso el vector representa la velocidad del objeto con la información completa de dirección magnitud.

Con este segundo vector, la velocidad, tenemos mas datos sobre el objeto, ya no solo sabemos donde está sino que también sabemos hacia donde va y que tan rápido. Al igual que el vector de posición, el vector de velocidad tendrá tantos componentes como dimensiones tenga el espacio. La principal diferencia entre estos dos es que el vector de velocidad no partirá desde el origen en el espacio (el punto 0,0,0 del que se traza el vector de posición) sino desde el cuerpo que posee la velocidad que describe el vector. Con este segundo vector ya se tienen 6 datos que describen la posición y conducta del cuerpo, 3 describen la posición (los componentes del vector de posición) y otros 3 la velocidad (los componentes del vector de velocidad). Pero ¿con esto es suficiente? Pensemos en un ejemplo.

Imaginemos una piedra que se arroja al aire. Con el vector de posición podemos saber donde esta en un momento dado y con el de velocidad sabremos a donde se dirige y a que ritmo cambia su posición (velocidad) y en que dirección ocurre ese cambio. Pero si lo pensamos bien, el hecho de que una piedra altere su velocidad implica que una fuerza actúa sobre ella. Pero con los dos vectores que hemos visto podemos ver esa alteración solo si tenemos ambos vectores durante todo el trayecto del cuerpo lo cual nos haría terminar con una gran cantidad de datos para describir el movimiento, 6 por cada instante.


Ejemplo de movimiento parabólico, similar al de una pelota de beisball. Se muestran los vectores involucrados, g es el vector de aceleración que en todo momento va hacia abajo

Existe una forma mas práctica de tener la información completa, introducir un tercer vector, un vector que indique como cambia la velocidad (la cual a su vez indica como cambia la posición). Este tercer vector será el vector de la aceleración. como todas las propiedades de los anteriores este vector también partirá de donde se encuentre el cuerpo y no del origen.

Con el vector de aceleración ya son tres los vectores y 9 datos los necesarios (3 por cada vector que contiene un dato por cada dimensión) para describir el movimiento de un cuerpo. Así que como vemos basta con los tres vectores para describir la totalidad de la posición y movimiento del cuerpo.

Así que los vectores son una forma ideal de describir una variedad de propiedades de un cuerpo y por lo tanto son de las entidades matemáticas más útiles. De aquí que tanto se les mencione en física. Sobre todo por que los vectores se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir, etc, etc.

Nota: Se preguntaran si no sería mejor agregar también un vector que indique la fuerza que actúan sobre el cuerpo en lugar del vector de aceleración. Pues, en realidad es lo mismo ya que la segunda ley de Newton nos indica que la fuerza no es mas que la aceleración multiplicada por la masa. Así, ambos vectores son dos formas de mostrar lo mismo.


Bién, ya vimos que los vectores pueden ser usados para describir la posición de un objeto en el espacio y que tanto los vectores como el espacio mismo tienes una serie de propiedades, en particular el hecho de poder ser de varias dimensiones.

Pero para continuar con la utilidad de los vectores. Como se vio, la dirección y sentido indican el rumbo a seguir, mientras que el tamaño del vector indica la distancia a recorrer. Pero podríamos cambiar esto y en lugar de indicar la posición de un objeto podríamos hablar acerca de su movimiento. Digamos, por ejemplo, que tenemos un cuerpo moviéndose en el espacio. La dirección a donde apunte el vector podría ser la dirección del movimiento, mientras que el tamaño de vector, en lugar de ser la distancia a un origen, puede simbolizar la velocidad a la que se esta moviendo. En este caso el vector representa la velocidad del objeto con la información completa de dirección magnitud.

Con este segundo vector, la velocidad, tenemos mas datos sobre el objeto, ya no solo sabemos donde está sino que también sabemos hacia donde va y que tan rápido. Al igual que el vector de posición, el vector de velocidad tendrá tantos componentes como dimensiones tenga el espacio. La principal diferencia entre estos dos es que el vector de velocidad no partirá desde el origen en el espacio (el punto 0,0,0 del que se traza el vector de posición) sino desde el cuerpo que posee la velocidad que describe el vector. Con este segundo vector ya se tienen 6 datos que describen la posición y conducta del cuerpo, 3 describen la posición (los componentes del vector de posición) y otros 3 la velocidad (los componentes del vector de velocidad). Pero ¿con esto es suficiente? Pensemos en un ejemplo.

Imaginemos una piedra que se arroja al aire. Con el vector de posición podemos saber donde esta en un momento dado y con el de velocidad sabremos a donde se dirige y a que ritmo cambia su posición (velocidad) y en que dirección ocurre ese cambio. Pero si lo pensamos bien, el hecho de que una piedra altere su velocidad implica que una fuerza actúa sobre ella. Pero con los dos vectores que hemos visto podemos ver esa alteración solo si tenemos ambos vectores durante todo el trayecto del cuerpo lo cual nos haría terminar con una gran cantidad de datos para describir el movimiento, 6 por cada instante.



Existe una forma mas práctica de tener la información completa, introducir un tercer vector, un vector que indique como cambia la velocidad (la cual a su vez indica como cambia la posición). Este tercer vector será el vector de la aceleración. como todas las propiedades de los anteriores este vector también partirá de donde se encuentre el cuerpo y no del origen.

Con el vector de aceleración ya son tres los vectores y 9 datos los necesarios (3 por cada vector que contiene un dato por cada dimensión) para describir el movimiento de un cuerpo. Así que como vemos basta con los tres vectores para describir la totalidad de la posición y movimiento del cuerpo.

Así que los vectores son una forma ideal de describir una variedad de propiedades de un cuerpo y por lo tanto son de las entidades matemáticas más útiles. De aquí que tanto se les mencione en física. Sobre todo por que los vectores se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir, etc, etc.

Nota: Se preguntaran si no sería mejor agregar también un vector que indique la fuerza que actúan sobre el cuerpo en lugar del vector de aceleración. Pues, en realidad es lo mismo ya que la segunda ley de Newton nos indica que la fuerza no es mas que la aceleración multiplicada por la masa. Así, ambos vectores son dos formas de mostrar lo mismo.

Esta es la primer entrada de GyF publicada desde el extranjero. Iniciada en México, continuada en Chile y editada en Argentina. Saludos desde San Juan, Argentina.

martes, 18 de enero de 2011

¿Quo Vadis? II

Ya vimos como designar la posición de un objeto en el espacio de forma matemática, con la entidad llamada vector. Pero mencionemos ahora algo muy importante sobre otro tema que vimos en la entrada pasada, el concepto de espacio matemático.

Como vimos, el espacio es una construcción matemática que representa el total de posiciones que puede ocupar un objeto dado. En nuestra vida cotidiana estamos acostumbrados a tratar con espacios tridimencionales. Pero esta propiedad, la tridimencionalidad, es algo que nos puede ayudar a entender algunos conceptos que se suelen tratar en física y matemáticas que no se suelen explicar mucho al público.

Empecemos con un ejemplo de un espacio mas sencillo, un espacio bidimencional, es decir un plano, como la cara de una hoja de papel. Si pueden tomen una hoja de papel y un lápiz, reproduzcan la imagen que se encuentra debajo de este párrafo. Noten que la esquina inferior izquierda es el origen mencionado en la entrada anterior,el punto desde el cual se proyecta el vector que designa la posición de un objeto o la localización de un punto en el espacio.


Espacio bidimensional, esta no es una representación si no el espacio en sí.

En los extremos inferior e izquierdo, líneas mas gruesas marcan dos de los contornos del cuadrado que representa el espacio que tratamos. Estas líneas (el análogo a las aristas del cubo de la entrada anterior) son, igual que en el ejemplo anterior, los ejes del espacio. Estos ejes son indicadores de la naturaleza del espacio que tratamos. Por ejemplo, la cantidad de ejes necesarios indica la cantidad de dimensiones del espacio. Esto nos ayuda por que nos permite entender el muy usado, abusado y poco entendido concepto de "dimensión".

En lo particular, me molesta mucho como se abusa de la palabra "dimensión" en particular (pero no exclusivamente) por los charlatanes que se pasan el rato "comunicándose con otras dimensiones" y haciendo toda clase de boberas con esas dimensiones a cambio de publicidad y algo de dinero. Así que veamos por que todo eso es un disparate. Dijimos que la cantidad de ejes representa la cantidad de dimensiones. Pero primero aclaremos algo de los ejes. Como vemos, los ejes se unen en un ángulo de 90°, claro que estricta y matemáticamente se pueden consebir espacios cuyos ejes se unan en ángulos diferentes a 90° pero no son construcciones muy útiles. Así que regresando al papel, estudiando el dibujo nos damos cuenta de que solo se pueden dibujar dos y solo dos líneas rectas que se unan a 90°, una tercer línea (que no sea paralela a alguna de las primeras dos) tendrá que tocarlas en un ángulo diferente a 90°. Pero si cambiamos las líneas por varillas, por ejemplo, podríamos poner dos en el suelo y unirlas en 90° e igual, no podríamos poner una tercera sin tener el mismo problema que en el papel, pero y si separamos esa tercer varilla del suelo? Se debe cumplir que toque el origen, donde se tocan las primeras dos varillas, pero si la tercera está "parada" sobre el suelo justo sobre ese punto (el origen) entonces habremos resulto el problema ya que se encontrará a 90° de cada una de las varillas anteriores.


Representación de un espacio tridimensional, es una representación bidimensional de un espacio tridimensional.

Aquí nos fijamos en algo interesante, para resolver el problema de colocar un tercer eje (varilla o línea) a 90° de las primeras dos nos vimos obligados a separarnos del espacio original, el plano en el suelo. Noten que en un plano, donde se pueden colocar dos ejes a 90° (a ejes separados por 90° se les llama "ejes ortogonales") se tienen también dos posibilidades de movimiento principales, siguiendo cada uno de los ejes. Cualquier otro movimiento se puede interpretar como una combinación de movimientos de los dos primeros. Y en el caso del espacio de las tres varillas, tenemos ahora la libertad de ir "arriba y abajo", es decir una nueva forma de moverse que no tiene relación con el plano en el suelo. Así que en el plano (con dos ejes ortogonales, "adelante y atrás" e "izquierda y derecha") se tienen dos formas fundamentales de movimiento, en el espacio (con tres ejes ortogonales) se tienen tres formas fundamentales de movimiento. Así que cada eje ortogonal representa una forma fundamental de movimiento, esto es una dimensión. Por lo que el plano es un espacio de dos dimensiones (bidimensional) y el cubo representa un espacio tridimensional. Noten como el movimiento en una dirección es completamente independiente de cualquier otra, es decir se puede uno mover en un eje sin moverse en el (o los) otro(s).

Regresando a la cantidad de ejes y dimensiones. ¿Que pasaría si al plano le quitamos una dimensión? Nos quedaría una sola línea y de hecho la línea es un espacio, un espacio unidimencional. Y los vectores en cada uno de estos espacios tendrán la misma cantidad de componentes como dimensiones, por lo que los vectores en un espacio tridimensional se escribirán como: (3,5,6) o (56,2,809). Mientras que los bidimensionales como (567,45) o (3,9). Y los unidimensionales serán simples números como: (4) o (8766).

Pero no tenemos por que limitarnos a tres dimensiones. Si bien es cierto que no podemos dibujar o construir un despacio de mas de tres dimensiones, matemáticamente se pueden manejar espacios de las dimensiones que uno guste, de cuatro (234,8765,2,10), cinco (87,1234,123,98,1), etc, etc. Estos espacios de mas de tres dimensiones se les llama hiper-espacios (en algunos contextos un hiperespacio es cualquier espacios de mas dimensiones que con el que estamos trabajando).

Como nota final les comentaré que mientras que mientras nosotros vivimos en un espacio tridimensional, algunas teorías, en particular la teoría de cuerdas tienen como implicaciones que existen mas dimensiones espaciales que las tres normales, hasta 11 dimensiones espaciales en total (larga historia).

Noten que les llame dimensiones espaciales, por que el tiempo se puede considerar una dimensión, una dimensión temporal en la cual nos podemos mover, curiosamente, en un solo sentido (por lo tanto no podemos viajar al pasado, el "atrás" en el tiempo) a diferente velocidad (según dicta la relatividad de Einstein).


domingo, 16 de enero de 2011

¿Quo Vadis? I

En física una gran cantidad de cosas dependen de la posición de los objetos. La posición es importante por que uno de los aspectos que mas nos importan sobre los objetos es como se mueven, y moverse no es otra cosa que cambiar la posición. El movimiento es la base de gran parte de nuestra tecnología, ya sea el movimiento de las partículas de un gas o de electrones en un circuito, nuestro control sobre la naturaleza y todas sus aplicaciones se basan en entender la forma en la que se mueven las cosas, es decir como cambia su posición.

Ya que la posición y lo que le pase es tan importante, tener una forma de describir esa posición sería una gran herramienta. Mas aún, ya que las matemáticas son el lenguaje y la herramienta principal de la física, sería ideal que la posición se exprese de forma matemática. ¿Pero como lograrlo? Con palabras nos es fácil por que estamos acostumbrados a hablar de que tal cosa se encuentra, digamos, en la calle X número 3 entre las calles A y B. Con esto ya nos damos una idea de como llegar desde donde estamos. Así que intentemos aplicar la misma lógica a las matemáticas.


Disco de pequeños cuerpos en torno a una estrella, esta imagen no tiene relación alguna con el tema pero quería algo que llame la atención y es muy temprano para poner las importantes (ver abajo).

En primer lugar pensemos en donde estamos. Si habitamos una ciudad y damos una dirección en esa misma ciudad nos será fácil orientarnos, pero ¿y si nos dan una dirección sin decirnos de que ciudad es? Podría ser una ciudad que no conocemos, a la que nunca hemos ido, nos será bastante difícil (como en casi toda ciudad de México existe alguna calle llamada "Reforma" o "Revolución", decir "vivo en Reforma #75" sin decir la ciudad no facilita las cosas) . Por lo que lo primero es definir el lugar en general donde estamos. En términos matemáticos esto implica decir en que "espacio" nos encontramos.

Definamos primero lo que es un "espacio". Puede parecer sencillo, todos entendemos lo que es "espacio", sabemos cuando algo "no tiene espacio". Así que no nos sorprendería que definamos "espacio" como "el conjunto de todas las posiciones posibles que puede tomar un cuerpo". Si lo fuéramos a dibujar, el espacio se podría representar con un cubo, un cubo que representa la zona del movimiento del cuerpo que estamos estudiando. Y como todo cubo este tiene esquinas que tienen ángulos de 90º (esto parece obvio pero luego nos será útil recordarlo) . Bien, ya tenemos una forma de representar espacios.

Pero lo que queremos es decir donde en ese espacio se encuentra algún objeto. Digamos que un cierto cuerpo se encuentra en el espacio representado con el cubo ¿como designo a ese punto? Podría tomar a una de las esquinas como referencia (es como saber de que ciudad es una dirección) y podríamos hacer algo tan burdo como poner una flecha que sale de la esquina de referencia (que voy a llamar "0,0,0," que se lee: cero cero cero, sé que el nombre es raro pero luego me explicaré) y apunta al lugar donde está el objeto con la punta tocando ese lugar.

Tan burda técnica tiene un encanto oculto, y ese es que si nos imaginamos poner una lámpara en el lugar adecuado, la flecha proyectaría una sombra sobre cada arista (línea que une una esquina con otra) del cubo. El tamaño de esta sombra podrá darnos una idea sobre el tamaño de la flecha. Imaginen que ponemos la lámpara justo en la dirección opuesta a una arista dada (llamemosle "x"), entonces la sombra de la flecha que caiga sobre "x" será una muy buena indicación del tamaño de la flecha. Pero sin duda ya se dieron cuenta de que dos flechas de diferente tamaño podrían tener sombras iguales, por lo que si quiero distinguir bién una flecha de la otra necesito otra lámpara proyectando otra sombra sobre otra arista, a esta llamemosle "y" y ya que el cubo tiene en cada esquina tres aristas, pongamos una tercer lámpara para proyectar una sombra ahora sobre la otra arista cuyo nombre jamas adivinarán; es "z".


Cubo designando un espacio con una flecha saliendo de la esquina hasta un punto. La longitud de las "sombras" en este caso es de 2, 3 y 5.

Ok, resumiendo, tenemos un espacio representado por un cubo, dentro del cual existe un objeto cuya posición se designa con una flecha que parte de una esquina llamada 0,0,0 y que proyecta sombras sobre las aristas "x", "y" y "c". Ahora si, considerando la tres sombras no existen dos flechas distintas en ese espacio que tengan las tres sombras del mismo tamaño. Por lo tanto una buena forma de distinguir una flecha de la otra es con las medidas de sus tres sombras ¿que tal si para abreviar escribimos las longitudes de las sombras siempre en el mismo orden y separadas por comas (,) así nos evitamos escribir "la longitud de la sombra sobre la arista X es ..., la longitud de la sombra sobre ...." . Así que para una flecha que tenga sombras que miden en X, 4 cm en Y 5 cm y en Z 7 cm , a esta flecha se le podría llamar "4,5,7" y mientras que pueden existir muchas flechas en el espacio solo puede haber una 4,5,7.

Bien, todo esto esta muy bonito, pero ¿que tiene que ver con las posiciones de los cuerpos? Noten, que si en el espacio en cuestión solo puede haber UNA flecha que apunte a un lugar a tal distancia y dirección de la esquina 0,0,0, eso significa que esa posición se puede asociar o mas bien describir con la flecha 4,5,7. Por lo tanto podemos definir la posición con esa flecha, que es definible con un conjunto de números, por lo tanto de la aparentemente simple descripción de espacio como un cubo y la flechita apuntando a un lugar, ¡obtuvimos una forma matemática de expresar la posición!

Pongamos nombres matemáticos y elegantes a las cosas. A la flechita se le llama vector de posición, al cubo espacio vectorial (se entiende si le llaman simplemente espacio), a la esquina 0,0,0 se le llama origen y a las aristas que la tocan ejes.


Representación vectorial de la posición de un cuerpo en el espacio. Es la forma matemática de decir donde se encuentra algo.

Estos son los dichosos vectores que tanto lo hacen bolas a uno si no nos los explican bien. Y es una lástima que no le enseñen a uno el amor por estas entidades matemáticas pues su utilidad es impresionante. Aquí solo hemos hablado de posiciones, pero en la próxima entrada veremos que los vectores de forma impresionante-mente sencilla puede describir mas propiedades de los cuerpos.



domingo, 9 de enero de 2011

Calentando el Sol

El estudio del Sol es una fuente muy importante por ser la estrella mas cerca y fácil de estudiar. Pero inclusive con su cercanía y considerando que el Sol tiene un diámetro de medio grado en nuestro cielo existe mucho que todavía no se conoce o entiende de él. Uno de estos misterios es la elevada temperatura de la corona solar.

Imágenes de la corona solar durante un eclipse, esta zona es tan tenue que el brillo de la superficie la hace difícil de observar.

La corona solar es la capa mas exterior del sol. La cuál, suele ser invisible ya que emite casi todo su brillo en rayos X y por lo tanto es solo visible cuando un eclipse total tapa la brillante superficie. El problema es que según la lógica, observaciones y el resto de lo que sabemos del Sol debería ser la mas fría. Desde mediados del siglo XX, cuando se entendió el funcionamiento de las estrellas, se sabe que el núcleo, donde se produce la energía, es la parte mas caliente, con unos 15 millones de grados, y que la temperatura va descendiendo hasta llegar a la fotosfera (donde escapa gran parte de la energía y que vemos como "superficie") que está a 5,800º. Por lo tanto la corona, que es mas exterior debería ser mas fría. ¡Sin embargo la temperatura medida de la corona es mucho mayor que la fotosfera!

Este problema a aludido a los astrónomos solares desde que se realizaron estas mediciones hace décadas sin lograr encontrar algún mecanismo que pueda ya sea generar la energía que caliente el gas ya estando en la corona, o que transporte esa energía desde el centro del sol. Se encontraron posibles candidatos en la estructura que se ve sobre la fotosfera. Se pensó que filamentos y jets de plasma (el material del cual esta compuesto el Sol, plasma de Hidrógeno y Helio) serían una potencial explicación. Filamentos se suelen romper y reunir, lo que podría aportar energía, y los jets transportar plasma caliente. Pero ninguna de las dos explicaciones es suficiente.

Imagen mostrando los microjets de corta duración descubierto con la sonda Hinode y que se sospecha sean los responsables de la elevada temperatura de la corona.

Pero hace unos días, gracias a la sonda Hinode que esta observando el Sol con una resolución sin precedentes se han detectado unos microjets que parecen ser el mecanismo por el cuál llega energía a la corona solar. Estos son fenómenos muy parecido a los jets clásicos pero duran tan poco tiempo que los instrumentos antiguos no los detectarían. Lo interesante es que pocos segundos después de que sale el microjet se detecta un calentamiento considerable justo en el punto en la corona bajo el cuál salio el microjet y este incremento en la temperatura si puede explicar la temperatura de la corona solar.

Sin embargo los investigadores que usaron Hinode (Bart De Pontieu et al, vean la revista Science del 7 de Enero) advierten que aun falta revisar los modelos de transporte de energía para ver como si las implicaciones de las nuevas observaciones son coherentes con lo que ya se conoce del funcionamiento del Sol. Sin duda en fechas próximas habrá nuevos anuncios a este respecto.



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