Al extremo

En primer lugar ¡Perdón! En parte por no escribir en tanto tiempo y luego por la simplificación olímpica que estoy a unto de hacer y para terminar por meter un poco de matemáticas. Pero todo se puede explicar.

Un cuerpo disparado con diferentes velocidades puede llegar a diferentes distancias (por que tarda mas en caer), eventualmente se llega a una velocidad orbital en la cual se mantiene sin caer ni escapar, y luego a una velocidad de escape en la cual el objeto sale por completo del campo gravitatorio.

Hace unos días, una de nuestras lectoras solicitó una entrada sobre el Radio de Schwarzschild (de ahora en adelante llamado RS por que luego no termino nunca). Y mientras que la forma de pronunciar correctamente ese nombre es digno de su propia entrada, me dedicare a la física detrás del RS. En primer lugar, ¿que es el RS? Pues nada menos que la frontera de un hoyo negro. Estrictamente hablando es la zona exterior o "superficie" de un hoyo negro.

Esquema de un Hoyo Negro junto con su disco de acreción (el disco que forma la materia que es atrapada por su gravedad) y los jets de plasma limitados por campos magnéticos que son emanados del centro. En el recuadro se se la "estructura", el horizonte de eventos es una esfera cuyo radio es el Radio de Schwarzschild.

Como definición no tiene mucho que dar, así que decidí incluir la forma de calcularlo partiendo del teorema de conservación de la energía. Explicare como lo hice y luego se mostrarán los cálculos para que los reproduzcan si quieren, es fácil solo no le tengan miedo a las matemáticas, son puras cositas de álgebra de secundaria así que incluso se pueden usar como tema de una exposición "impresiona-maestros-que-le-tienen-miedo-a-los-números" en la secundaria (o inclusive algunas preparatorias). Pero antes de explicar lo que hice he de aclarar algo muy importante; simplifique las cosas a un nivel casi-absurdo. Si buscan en internet encontraran la misma formula para el RS que yo obtuve o mas bién, encontrarán que esta es la mas usual, es la que llaman para un hoyo negro clásico no-rotatorio. Bueno, en primer lugar, las palabras "hoy negro" y "clásico" no van bien juntas. Un hoyo negro es un concepto tan relativista que es casi sinónimo (como "burocracia" e "ineficiente"), así que resolver ecuaciones de física de Newton para algo propio de la de Einstein no es muy correcto que digamos. Pero entonces ¿por que lo hice y por que lo hacen en tantos libros y lugares de internet? Básicamente por que es mucho mas sencillo y da una buena idea de lo que estamos tratando. Así que lo que haré será modelar un campo gravitatorio usando física de Newton.

Lo haremos paso por paso. En primer lugar, usare el teorema de la conservación de la energía que dice que:
La energía ni se crea ni se destruye, solo se transforma.

Conducta de, en la luz la ser emitida desde la superficie de varios cuerpos con diferente intensidad en la fuerza gravitatoria. En el caso de un hoyo negro (abajo a la derecha) la luz siempre regresa a la superficie.

Bién pero parte debo de plantear donde usaré el teoremita este. Pensemos en un cuerpo grande con una masa 'M' (no se cuantas toneladas son, solo digo que tiene M toneladas de masa) que tiene un campo gravitatorio. Y cerca del cuerpo M tenemos otro mas pequeño de masa 'm'. Ok, a 'M' lo dejaremos fijo en el espacio mientras que 'm' se puede mover. Aquí es donde usaré el teorema, ¿como? pues dándome cuenta de que si muevo a 'm' se tiene que conservar la energía. Es decir si me lo llevo de un lugar cerca de M a otro lejos de M no podré desparecer la energía, tendrá la misma, tal ves en diferente forma, pero será la misma.

Bueno, pues resulta que 'm' tiene en realidad dos tipos de energía, una gracias a su velocidad y la otra a su distancia a M (a esta distancia la llamamos 'r'). Bién, ya de aquí puede bajar la siguiente imagen y reproducir los pasos, si no lo quieren hacer o ya lo hicieron sigamos abajo de la imagen.

Como ven se llega a que r=2GM/c^2

Lo único que hice fue escribir el teorema, usando la expresión matemática para los dos tipos de energías (a la derecha las dos son cero) y luego aproveché que ya están incluidas la masa M, la velocidad y la distancia r. Pero el truco esta en lo que hice con las energías. Ya quedamos en que a la derecha es cero, pero a la izquierda no, pero de ese lado tengo dos energía (K y U) cuando pasé U al otro lado de la igualdad y entonces igualé K con U y como U depende de la distancia y K de la velocidad, me quedé con la condición de que la dichosa v (velocidad) dependa de la r (distancia), es decir si cambio una, cambia la otra. Y estoy hablando de situaciones de equilibrio y conservación de la energía, interpreto que la velocidad 'v' es la que necesita el cuerpo 'm' para estar a una distancia r de M y poder moverse libremente (escapar).

Por lo tanto, si yo hago que v sea igual a c (la velocidad de la luz) lo que obtengo es la ecuación que me dice a que distancia tiene que estar una partícula cualquiera para poder escapar de algo con masa M. De esta manera, si la partícula esta a una distancia menor, no podrá escapar. En pocas palabras; " r es la distancia a la cúal una partícula tiene tanta energía por su velocidad como por la gravedad y por lo tanto es libre de escapar o de acercarse".

Como pueden ver el cálculo es fácil, pero como al usar cualquier modelo, esto tiene su costo que es que no nos dice las cosas fielmente. El calculo para una superficie real de un hoyo negro es mucho mas complejo y sería un verdadero atentado a la salud psicológica pública pretender explicarlo aquí (además que escribir todo eso en un .jpg es un tango increíble). Y como mencioné, existen efecto relativistas, en primer lugar, el espacio esta muy curvado en el RS y por lo tanto también el tiempo (la física de Newton ignora esto y deja que 'm' se mueva como quiera, pero el tiempo mismo esta alterado).

Si queremos una idea mas clara de lo que es el borde de un hoyo negro imagenémoslo así:

Sabemos que el espacio y el tiempo están entrelazados y que el espacio se doblado por la masa (ese doblez es lo que llamamos gravedad). Así un rayo de luz que siempre va en un linea recta sobre el espacio se curva al pasar cerca de algo con masa por que el espacio se curvo (el rayo sigue recto, pero el espacio se dobló con todo y "recta"). Un hoy negro sería entonces, el lugar donde la masa es tal que la curvatura del espacio se cierra sobre si misma, por lo tanto no puede escapar la luz, la recta regresa sobre sus pasos.

Bién, este ejerció mental es un poco raro, si luego menciono que no conforme el ritmo en el que pasa el tiempo se hace mas lento (el ultimo segundo antes de tocar el hoyo negro es casi infinito), entenderán el por qúe del uso de una simplificación.

Además, el RS nos permite un jueguito de lo mas divertido, calcular de que tamaño tendría que ser algo para ser un hoyo negro, para saber esto solo mete los datos en la ecuación para el RS, tomando en cuenta que si todo se mide en metro, segundo y kilos, los valores de G y c son:

G=0.0000000000667428
c=299,792,458
M= masa del hoy negro que quieres calcular, por ejemplo usa tu propia masa (masa=peso/9.81) para saber de que tamaño tendrías que ser para ser un hoyo negro. De igual manera puede usar la masa de tu suegra, patrón, casero, maestro, vecino-con-música-a-todo-volumen o tu persona odiada favorita, comprimelo a ese tamaño y comete el crimen perfecto, nadie sospechará que los transformaste en hoyos negros.

Algunos resultados interesantes son;

Cuerpo (M): .............................Tamaño necesario para ser hoyo negro(r):
Sol........................................................3000 metros
Tierra .........................................................0.09 metros (9 milimetros)
Cobrador de impuestos...........................0.00000000000000000000000001211194783 metros

Bién, en caso de cualquier duda me la mandan en seguida :)