Marcos a la Medida

Muchos de los interesados en la astronomía y ramas de la física relacionadas, se entretienen bastante tratando de entender las múltiples paradojas relativistas. Y no se les puede culpar, pues estas resultan bastante entretenidas y su comprensión es un muy buen reto intelectual. Y a pesar de que la comprensión real de estas cuestiones requiere del manejo de matemáticas avanzadas intentaré explicarlo usando el mínimo de matemáticas posible. En particular hablaremos de la paradoja de los gemelos.

El tren en movimiento y el suelo (o el andén de alguna estación) son buenos ejemplos de marcos de referencia.

En primer lugar, debemos entender uno de los conceptos claves en la física cuando se habla de movimiento, el concepto de "marco de referencia inercial" lo que llamaremos simplemente marco de referencia. En pocas palabras, un marco de referencia es lo que tomaremos como referencia para medir posición y sus cantidades derivadas (velocidad y aceleración). Por ejemplo, para una persona sentada en un cuarto, el cuarto mismo puede ser el marco de referencia, ya que el puede medir su posición velocidad y aceleración con respecto al cuarto ( ejemplo, a 2 metros de tal esquina y a 1.4 km/h con respecto al suelo). En el caso de otra persona, digamos alguien en la calle, su marco de referencia sería la ciudad misma, o podría tomar algún marco mas pequeño como la calle misma donde se encuentra.

Sin embargo, consideremos el siguiente caso: dos personas, una en un tren en movimiento que pasa por una estación (A) y otra en el andén de la estación (B). En este caso, para la persona B su marco de referencia sería el anden, su posición, velocidad y aceleración se pueden medir con referencia al anden (tomando como punto de referencia, digamos, el borde norte del andén). Inclusive, si B lo desea, puede medir la posición, velocidad y aceleración de cualquier otro objeto con respecto al anden, es decir en su mismo marco de referencia. Por ejemplo, un gato moviéndose por el anden tiene una posición, velocidad y aceleración que se pueden medir, la persona B las puede interpretar fácilmente pues el gato se encuentra dentro del mismo marco de referencia, es decir, si se dice que el gato se encuentra 2 m del borde norte del andén, la persona B puede fácilmente saber donde esta el felino ya que él sabe donde se encuentra el borde norte del andén con respecto a él. De igual manera, si el gato se mueve a 2 km/h, la persona B sabe que si desea alcanzar al gato, no tiene más que moverse a más de 2km/h. Es decir, es como lo que nos pasa a todos nosotros, cuando vamos por la calle y vemos alguna otra persona moverse, su posición, velocidad y aceleración se pueden calcular de manera sencilla ya que ambos vamos por la calle.

Pero ¿Y que pasa con la persona A, la del tren? Pues digamos que A, en lugar de ver al gato en el anden, ve a un ratón parado (es decir, estacionario) que va en el mismo tren (de polizonte, claro), el punto es que para A, se tendrá la misma situación con respecto al ratón que B tiene con el gato. Así como B y el gato están en el mismo marco de referencia, el andén, A y el ratón también están en el mismo marco de referencia, el tren.

Representación matemática de dos marcos de referencia, uno sin primar (s) ,estático y otro primado (s'), en movimiento.

Pero (ya llegó el "pero") ¿Como ve A al gato? A se encuentra abordo del tren y el gato en el anden. Si A mide la posición, velocidad o aceleración del gato será desde su marco de referencia, es decir, desde el tren. Digamos que el tren se mueve a 20 km/h (esta pasando por la estación, no puede ir muy rápido) en la misma dirección que el gato, por decir algo, hacia el norte. Entonces si preguntamos a las dos personas A y B por la velocidad y dirección del gato, B nos dirá que los mismos 2 km/h que antes y que el gato se mueve hacia el norte, ¡Pero A dirá que el gato se mueve a 18 km/h (20-2=18) hacia el sur! Ya que desde el tren, ¡El gato se ve pasar hacia atras! Y si preguntamos por la velocidad y dirección del ratón. A nos dirá que el ratón no va a ningun lado, mientras que B nos dice que el ratón corre a 20 km/h hacia el norte. El lector que no se haya quedado dormido ya se habrá dado cuenta de que el problema radica en que cada observador A y B describe las cosas según él las ve, según su marco de referencia. En otras palabras, el movimiento es relativo al marco de referencia, está es la base de la relatividad, en particular, la relatividad galileana.

Galileo Galilei se percató de este fenómeno al considerar el movimiento de los objetos a bordo de barcos en el mar. Y la diferencia con la relatividad de Einstein, fue que la de Einstein contiene un par de elementos adicionales que la hace característica:

1. Existe una velocidad máxima absoluta, sin importar el marco de referencia, y esta es la velocidad de la luz en el vacío, llamada c (aprox. 300,000 km/s)
2. El tiempo y el espacio también se ven afectados por el cambio del marco de referencia.

Regresemos con los gemelos. Consideremos que A y B son dos personas nacidas el mismo día y con pocos minutos de diferencia (cosa que no fué de gracia a su madre, ni al padre que pagó por dos nacimientos en lugar de uno). Y subamos al gemelo A no a un tren sino a una nave espacial que viajará a velocidades cercanas a la de la luz mientras que B (y el gato) se quedan en Tierra.

Parte del genio de Einstein fué el darse cuenta de que en ese caso (con objetos que se mueven a velocidades comparables a la de la luz) obedecen las relaciones de Lorentz. Estas relaciones indican como se modifica el espacio y el tiempo para algún marco de referencia que se mueve a velocidades cercanas a la de la luz con respecto a otro marco de referencia.

Factor de escala, en las ecuaciones de Lorentz es la parte que contiene la relación entre la velocidad del objeto en movimiento v y la velocidad de la luz c.

En particular tenemos algo muy interesante, el llamado factor de escala, en las ecuaciones lo Lorentz es el factor de la raíz cuadrada. Si nos fijamos bien, cuando la velocidad del cuerpo en movimiento v se acerca a la velocidad de la luz c, es factor se reduce, por lo que el tiempo se afecta, mas bien, se afecta el ritmo con el que pasa el tiempo. Si se hacen las matemáticas uno se da cuenta de que el tiempo pasará mas despacio en el marco de referencia de la nave según se ve desde el marco de referencia de la Tierra.

Ecuaciones de Lorentz. Dictan la forma en que se afecta el marco de referencia en movimiento s' con respecto al marco estático s.

Digamos que A y B se ponen de acuerdo en que A viajará de ida y vuelta a la estrella mas cercana (distancia 4.45 años-luz) a una velocidad de v=0.866 c (86.8% de la velocidad de la luz), viaje que durará 10.28 años. Según las ecuaciones de Lorentz, mientras que en la Tierra pasen esos 10.28 años en la nave habrán pasado únicamente 5.14 años. Por lo que el gemelo A envejeció 5.14 años mientras que B envejeció 10.28 años. Por lo tanto, a pesar de que el periodo de separación duró un tiempo determinado, los gemelos envejecieron a un ritmo distinto.

Por extraño que se oiga, esta dilatación temporal es un hecho, se ha medido en partículas subatómicas que se desintegran rápidamente, las partículas duran mucho más si están moviéndose a altas velocidades que a bajas. También en los satélites artificiales en órbita terrestre, a pesar de que su velocidad no es tan alta, el efecto relativista debe ser considerado para los satélites del sistema GPS de lo contrario dará datos incorrectos.

Para terminar me gustaría responder a otra pregunta, que me suelen hacer ¿nunca se han preguntado por que se dice que la velocidad de la luz es la velocidad máxima en el universo y que no se puede siquiera igualar? La demostración es un poco mas compleja, pero con lo visto en esta entrada podemos darnos cuenta de los mismo. Vean el factor de escala:

y las ecuaciones de Lorentz:

¿Que pasaría si la velocidad del objeto v fuera igual a c? el segundo término en el factor de escala sería igual a 1 y como saben 1-1=0 y la raíz cuadrada de cero es cero, pero de las ecuaciones de Lorentz vemos que el factor de escala está en el denominador (es decir abajo en las divisiones) y si recordamos lo que siempre nos dicen lo maestros de matemáticas en la secundaria; "no dividirás entre cero" tenemos que es matemáticamente imposible que v=c.