domingo, 16 de enero de 2011

¿Quo Vadis? I

En física una gran cantidad de cosas dependen de la posición de los objetos. La posición es importante por que uno de los aspectos que mas nos importan sobre los objetos es como se mueven, y moverse no es otra cosa que cambiar la posición. El movimiento es la base de gran parte de nuestra tecnología, ya sea el movimiento de las partículas de un gas o de electrones en un circuito, nuestro control sobre la naturaleza y todas sus aplicaciones se basan en entender la forma en la que se mueven las cosas, es decir como cambia su posición.

Ya que la posición y lo que le pase es tan importante, tener una forma de describir esa posición sería una gran herramienta. Mas aún, ya que las matemáticas son el lenguaje y la herramienta principal de la física, sería ideal que la posición se exprese de forma matemática. ¿Pero como lograrlo? Con palabras nos es fácil por que estamos acostumbrados a hablar de que tal cosa se encuentra, digamos, en la calle X número 3 entre las calles A y B. Con esto ya nos damos una idea de como llegar desde donde estamos. Así que intentemos aplicar la misma lógica a las matemáticas.


Disco de pequeños cuerpos en torno a una estrella, esta imagen no tiene relación alguna con el tema pero quería algo que llame la atención y es muy temprano para poner las importantes (ver abajo).

En primer lugar pensemos en donde estamos. Si habitamos una ciudad y damos una dirección en esa misma ciudad nos será fácil orientarnos, pero ¿y si nos dan una dirección sin decirnos de que ciudad es? Podría ser una ciudad que no conocemos, a la que nunca hemos ido, nos será bastante difícil (como en casi toda ciudad de México existe alguna calle llamada "Reforma" o "Revolución", decir "vivo en Reforma #75" sin decir la ciudad no facilita las cosas) . Por lo que lo primero es definir el lugar en general donde estamos. En términos matemáticos esto implica decir en que "espacio" nos encontramos.

Definamos primero lo que es un "espacio". Puede parecer sencillo, todos entendemos lo que es "espacio", sabemos cuando algo "no tiene espacio". Así que no nos sorprendería que definamos "espacio" como "el conjunto de todas las posiciones posibles que puede tomar un cuerpo". Si lo fuéramos a dibujar, el espacio se podría representar con un cubo, un cubo que representa la zona del movimiento del cuerpo que estamos estudiando. Y como todo cubo este tiene esquinas que tienen ángulos de 90º (esto parece obvio pero luego nos será útil recordarlo) . Bien, ya tenemos una forma de representar espacios.

Pero lo que queremos es decir donde en ese espacio se encuentra algún objeto. Digamos que un cierto cuerpo se encuentra en el espacio representado con el cubo ¿como designo a ese punto? Podría tomar a una de las esquinas como referencia (es como saber de que ciudad es una dirección) y podríamos hacer algo tan burdo como poner una flecha que sale de la esquina de referencia (que voy a llamar "0,0,0," que se lee: cero cero cero, sé que el nombre es raro pero luego me explicaré) y apunta al lugar donde está el objeto con la punta tocando ese lugar.

Tan burda técnica tiene un encanto oculto, y ese es que si nos imaginamos poner una lámpara en el lugar adecuado, la flecha proyectaría una sombra sobre cada arista (línea que une una esquina con otra) del cubo. El tamaño de esta sombra podrá darnos una idea sobre el tamaño de la flecha. Imaginen que ponemos la lámpara justo en la dirección opuesta a una arista dada (llamemosle "x"), entonces la sombra de la flecha que caiga sobre "x" será una muy buena indicación del tamaño de la flecha. Pero sin duda ya se dieron cuenta de que dos flechas de diferente tamaño podrían tener sombras iguales, por lo que si quiero distinguir bién una flecha de la otra necesito otra lámpara proyectando otra sombra sobre otra arista, a esta llamemosle "y" y ya que el cubo tiene en cada esquina tres aristas, pongamos una tercer lámpara para proyectar una sombra ahora sobre la otra arista cuyo nombre jamas adivinarán; es "z".


Cubo designando un espacio con una flecha saliendo de la esquina hasta un punto. La longitud de las "sombras" en este caso es de 2, 3 y 5.

Ok, resumiendo, tenemos un espacio representado por un cubo, dentro del cual existe un objeto cuya posición se designa con una flecha que parte de una esquina llamada 0,0,0 y que proyecta sombras sobre las aristas "x", "y" y "c". Ahora si, considerando la tres sombras no existen dos flechas distintas en ese espacio que tengan las tres sombras del mismo tamaño. Por lo tanto una buena forma de distinguir una flecha de la otra es con las medidas de sus tres sombras ¿que tal si para abreviar escribimos las longitudes de las sombras siempre en el mismo orden y separadas por comas (,) así nos evitamos escribir "la longitud de la sombra sobre la arista X es ..., la longitud de la sombra sobre ...." . Así que para una flecha que tenga sombras que miden en X, 4 cm en Y 5 cm y en Z 7 cm , a esta flecha se le podría llamar "4,5,7" y mientras que pueden existir muchas flechas en el espacio solo puede haber una 4,5,7.

Bien, todo esto esta muy bonito, pero ¿que tiene que ver con las posiciones de los cuerpos? Noten, que si en el espacio en cuestión solo puede haber UNA flecha que apunte a un lugar a tal distancia y dirección de la esquina 0,0,0, eso significa que esa posición se puede asociar o mas bien describir con la flecha 4,5,7. Por lo tanto podemos definir la posición con esa flecha, que es definible con un conjunto de números, por lo tanto de la aparentemente simple descripción de espacio como un cubo y la flechita apuntando a un lugar, ¡obtuvimos una forma matemática de expresar la posición!

Pongamos nombres matemáticos y elegantes a las cosas. A la flechita se le llama vector de posición, al cubo espacio vectorial (se entiende si le llaman simplemente espacio), a la esquina 0,0,0 se le llama origen y a las aristas que la tocan ejes.


Representación vectorial de la posición de un cuerpo en el espacio. Es la forma matemática de decir donde se encuentra algo.

Estos son los dichosos vectores que tanto lo hacen bolas a uno si no nos los explican bien. Y es una lástima que no le enseñen a uno el amor por estas entidades matemáticas pues su utilidad es impresionante. Aquí solo hemos hablado de posiciones, pero en la próxima entrada veremos que los vectores de forma impresionante-mente sencilla puede describir mas propiedades de los cuerpos.



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