martes, 18 de enero de 2011

¿Quo Vadis? II

Ya vimos como designar la posición de un objeto en el espacio de forma matemática, con la entidad llamada vector. Pero mencionemos ahora algo muy importante sobre otro tema que vimos en la entrada pasada, el concepto de espacio matemático.

Como vimos, el espacio es una construcción matemática que representa el total de posiciones que puede ocupar un objeto dado. En nuestra vida cotidiana estamos acostumbrados a tratar con espacios tridimencionales. Pero esta propiedad, la tridimencionalidad, es algo que nos puede ayudar a entender algunos conceptos que se suelen tratar en física y matemáticas que no se suelen explicar mucho al público.

Empecemos con un ejemplo de un espacio mas sencillo, un espacio bidimencional, es decir un plano, como la cara de una hoja de papel. Si pueden tomen una hoja de papel y un lápiz, reproduzcan la imagen que se encuentra debajo de este párrafo. Noten que la esquina inferior izquierda es el origen mencionado en la entrada anterior,el punto desde el cual se proyecta el vector que designa la posición de un objeto o la localización de un punto en el espacio.


Espacio bidimensional, esta no es una representación si no el espacio en sí.

En los extremos inferior e izquierdo, líneas mas gruesas marcan dos de los contornos del cuadrado que representa el espacio que tratamos. Estas líneas (el análogo a las aristas del cubo de la entrada anterior) son, igual que en el ejemplo anterior, los ejes del espacio. Estos ejes son indicadores de la naturaleza del espacio que tratamos. Por ejemplo, la cantidad de ejes necesarios indica la cantidad de dimensiones del espacio. Esto nos ayuda por que nos permite entender el muy usado, abusado y poco entendido concepto de "dimensión".

En lo particular, me molesta mucho como se abusa de la palabra "dimensión" en particular (pero no exclusivamente) por los charlatanes que se pasan el rato "comunicándose con otras dimensiones" y haciendo toda clase de boberas con esas dimensiones a cambio de publicidad y algo de dinero. Así que veamos por que todo eso es un disparate. Dijimos que la cantidad de ejes representa la cantidad de dimensiones. Pero primero aclaremos algo de los ejes. Como vemos, los ejes se unen en un ángulo de 90°, claro que estricta y matemáticamente se pueden consebir espacios cuyos ejes se unan en ángulos diferentes a 90° pero no son construcciones muy útiles. Así que regresando al papel, estudiando el dibujo nos damos cuenta de que solo se pueden dibujar dos y solo dos líneas rectas que se unan a 90°, una tercer línea (que no sea paralela a alguna de las primeras dos) tendrá que tocarlas en un ángulo diferente a 90°. Pero si cambiamos las líneas por varillas, por ejemplo, podríamos poner dos en el suelo y unirlas en 90° e igual, no podríamos poner una tercera sin tener el mismo problema que en el papel, pero y si separamos esa tercer varilla del suelo? Se debe cumplir que toque el origen, donde se tocan las primeras dos varillas, pero si la tercera está "parada" sobre el suelo justo sobre ese punto (el origen) entonces habremos resulto el problema ya que se encontrará a 90° de cada una de las varillas anteriores.


Representación de un espacio tridimensional, es una representación bidimensional de un espacio tridimensional.

Aquí nos fijamos en algo interesante, para resolver el problema de colocar un tercer eje (varilla o línea) a 90° de las primeras dos nos vimos obligados a separarnos del espacio original, el plano en el suelo. Noten que en un plano, donde se pueden colocar dos ejes a 90° (a ejes separados por 90° se les llama "ejes ortogonales") se tienen también dos posibilidades de movimiento principales, siguiendo cada uno de los ejes. Cualquier otro movimiento se puede interpretar como una combinación de movimientos de los dos primeros. Y en el caso del espacio de las tres varillas, tenemos ahora la libertad de ir "arriba y abajo", es decir una nueva forma de moverse que no tiene relación con el plano en el suelo. Así que en el plano (con dos ejes ortogonales, "adelante y atrás" e "izquierda y derecha") se tienen dos formas fundamentales de movimiento, en el espacio (con tres ejes ortogonales) se tienen tres formas fundamentales de movimiento. Así que cada eje ortogonal representa una forma fundamental de movimiento, esto es una dimensión. Por lo que el plano es un espacio de dos dimensiones (bidimensional) y el cubo representa un espacio tridimensional. Noten como el movimiento en una dirección es completamente independiente de cualquier otra, es decir se puede uno mover en un eje sin moverse en el (o los) otro(s).

Regresando a la cantidad de ejes y dimensiones. ¿Que pasaría si al plano le quitamos una dimensión? Nos quedaría una sola línea y de hecho la línea es un espacio, un espacio unidimencional. Y los vectores en cada uno de estos espacios tendrán la misma cantidad de componentes como dimensiones, por lo que los vectores en un espacio tridimensional se escribirán como: (3,5,6) o (56,2,809). Mientras que los bidimensionales como (567,45) o (3,9). Y los unidimensionales serán simples números como: (4) o (8766).

Pero no tenemos por que limitarnos a tres dimensiones. Si bien es cierto que no podemos dibujar o construir un despacio de mas de tres dimensiones, matemáticamente se pueden manejar espacios de las dimensiones que uno guste, de cuatro (234,8765,2,10), cinco (87,1234,123,98,1), etc, etc. Estos espacios de mas de tres dimensiones se les llama hiper-espacios (en algunos contextos un hiperespacio es cualquier espacios de mas dimensiones que con el que estamos trabajando).

Como nota final les comentaré que mientras que mientras nosotros vivimos en un espacio tridimensional, algunas teorías, en particular la teoría de cuerdas tienen como implicaciones que existen mas dimensiones espaciales que las tres normales, hasta 11 dimensiones espaciales en total (larga historia).

Noten que les llame dimensiones espaciales, por que el tiempo se puede considerar una dimensión, una dimensión temporal en la cual nos podemos mover, curiosamente, en un solo sentido (por lo tanto no podemos viajar al pasado, el "atrás" en el tiempo) a diferente velocidad (según dicta la relatividad de Einstein).


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