domingo, 30 de enero de 2011

¿Quo Vadis? III

Bién, ya vimos que los vectores pueden ser usados para describir la posición de un objeto en el espacio y que tanto los vectores como el espacio mismo tienes una serie de propiedades, en particular el hecho de poder ser de varias dimensiones.

Pero para continuar con la utilidad de los vectores. Como se vio, la dirección y sentido indican el rumbo a seguir, mientras que el tamaño del vector indica la distancia a recorrer. Pero podríamos cambiar esto y en lugar de indicar la posición de un objeto podríamos hablar acerca de su movimiento. Digamos, por ejemplo, que tenemos un cuerpo moviéndose en el espacio. La dirección a donde apunte el vector podría ser la dirección del movimiento, mientras que el tamaño de vector, en lugar de ser la distancia a un origen, puede simbolizar la velocidad a la que se esta moviendo. En este caso el vector representa la velocidad del objeto con la información completa de dirección magnitud.

Con este segundo vector, la velocidad, tenemos mas datos sobre el objeto, ya no solo sabemos donde está sino que también sabemos hacia donde va y que tan rápido. Al igual que el vector de posición, el vector de velocidad tendrá tantos componentes como dimensiones tenga el espacio. La principal diferencia entre estos dos es que el vector de velocidad no partirá desde el origen en el espacio (el punto 0,0,0 del que se traza el vector de posición) sino desde el cuerpo que posee la velocidad que describe el vector. Con este segundo vector ya se tienen 6 datos que describen la posición y conducta del cuerpo, 3 describen la posición (los componentes del vector de posición) y otros 3 la velocidad (los componentes del vector de velocidad). Pero ¿con esto es suficiente? Pensemos en un ejemplo.

Imaginemos una piedra que se arroja al aire. Con el vector de posición podemos saber donde esta en un momento dado y con el de velocidad sabremos a donde se dirige y a que ritmo cambia su posición (velocidad) y en que dirección ocurre ese cambio. Pero si lo pensamos bien, el hecho de que una piedra altere su velocidad implica que una fuerza actúa sobre ella. Pero con los dos vectores que hemos visto podemos ver esa alteración solo si tenemos ambos vectores durante todo el trayecto del cuerpo lo cual nos haría terminar con una gran cantidad de datos para describir el movimiento, 6 por cada instante.


Ejemplo de movimiento parabólico, similar al de una pelota de beisball. Se muestran los vectores involucrados, g es el vector de aceleración que en todo momento va hacia abajo

Existe una forma mas práctica de tener la información completa, introducir un tercer vector, un vector que indique como cambia la velocidad (la cual a su vez indica como cambia la posición). Este tercer vector será el vector de la aceleración. como todas las propiedades de los anteriores este vector también partirá de donde se encuentre el cuerpo y no del origen.

Con el vector de aceleración ya son tres los vectores y 9 datos los necesarios (3 por cada vector que contiene un dato por cada dimensión) para describir el movimiento de un cuerpo. Así que como vemos basta con los tres vectores para describir la totalidad de la posición y movimiento del cuerpo.

Así que los vectores son una forma ideal de describir una variedad de propiedades de un cuerpo y por lo tanto son de las entidades matemáticas más útiles. De aquí que tanto se les mencione en física. Sobre todo por que los vectores se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir, etc, etc.

Nota: Se preguntaran si no sería mejor agregar también un vector que indique la fuerza que actúan sobre el cuerpo en lugar del vector de aceleración. Pues, en realidad es lo mismo ya que la segunda ley de Newton nos indica que la fuerza no es mas que la aceleración multiplicada por la masa. Así, ambos vectores son dos formas de mostrar lo mismo.


Bién, ya vimos que los vectores pueden ser usados para describir la posición de un objeto en el espacio y que tanto los vectores como el espacio mismo tienes una serie de propiedades, en particular el hecho de poder ser de varias dimensiones.

Pero para continuar con la utilidad de los vectores. Como se vio, la dirección y sentido indican el rumbo a seguir, mientras que el tamaño del vector indica la distancia a recorrer. Pero podríamos cambiar esto y en lugar de indicar la posición de un objeto podríamos hablar acerca de su movimiento. Digamos, por ejemplo, que tenemos un cuerpo moviéndose en el espacio. La dirección a donde apunte el vector podría ser la dirección del movimiento, mientras que el tamaño de vector, en lugar de ser la distancia a un origen, puede simbolizar la velocidad a la que se esta moviendo. En este caso el vector representa la velocidad del objeto con la información completa de dirección magnitud.

Con este segundo vector, la velocidad, tenemos mas datos sobre el objeto, ya no solo sabemos donde está sino que también sabemos hacia donde va y que tan rápido. Al igual que el vector de posición, el vector de velocidad tendrá tantos componentes como dimensiones tenga el espacio. La principal diferencia entre estos dos es que el vector de velocidad no partirá desde el origen en el espacio (el punto 0,0,0 del que se traza el vector de posición) sino desde el cuerpo que posee la velocidad que describe el vector. Con este segundo vector ya se tienen 6 datos que describen la posición y conducta del cuerpo, 3 describen la posición (los componentes del vector de posición) y otros 3 la velocidad (los componentes del vector de velocidad). Pero ¿con esto es suficiente? Pensemos en un ejemplo.

Imaginemos una piedra que se arroja al aire. Con el vector de posición podemos saber donde esta en un momento dado y con el de velocidad sabremos a donde se dirige y a que ritmo cambia su posición (velocidad) y en que dirección ocurre ese cambio. Pero si lo pensamos bien, el hecho de que una piedra altere su velocidad implica que una fuerza actúa sobre ella. Pero con los dos vectores que hemos visto podemos ver esa alteración solo si tenemos ambos vectores durante todo el trayecto del cuerpo lo cual nos haría terminar con una gran cantidad de datos para describir el movimiento, 6 por cada instante.



Existe una forma mas práctica de tener la información completa, introducir un tercer vector, un vector que indique como cambia la velocidad (la cual a su vez indica como cambia la posición). Este tercer vector será el vector de la aceleración. como todas las propiedades de los anteriores este vector también partirá de donde se encuentre el cuerpo y no del origen.

Con el vector de aceleración ya son tres los vectores y 9 datos los necesarios (3 por cada vector que contiene un dato por cada dimensión) para describir el movimiento de un cuerpo. Así que como vemos basta con los tres vectores para describir la totalidad de la posición y movimiento del cuerpo.

Así que los vectores son una forma ideal de describir una variedad de propiedades de un cuerpo y por lo tanto son de las entidades matemáticas más útiles. De aquí que tanto se les mencione en física. Sobre todo por que los vectores se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir, etc, etc.

Nota: Se preguntaran si no sería mejor agregar también un vector que indique la fuerza que actúan sobre el cuerpo en lugar del vector de aceleración. Pues, en realidad es lo mismo ya que la segunda ley de Newton nos indica que la fuerza no es mas que la aceleración multiplicada por la masa. Así, ambos vectores son dos formas de mostrar lo mismo.

Esta es la primer entrada de GyF publicada desde el extranjero. Iniciada en México, continuada en Chile y editada en Argentina. Saludos desde San Juan, Argentina.

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